古鲁金第二定理

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今天讲古鲁金第二定理。上一期所讲的古鲁金定理可以称为第一定理。第一定理是讲旋转面面积与旋转曲线长度及曲线质心之间的关系，而第二定理则讲旋转体体积与旋转区域面积及旋转区域质心之间的关系，维度升高一维。两个定理的叙述类似。上一期的古鲁金第一定理是说：

古鲁金(P. Guldin)第一定理：一条平面曲线绕同平面内一条不穿过它的轴旋转一周所得曲面的面积，等于这条曲线的弧长乘以曲线质心绕这条轴旋转一周所得圆周长度 。

古鲁金第二定理表述如下(请与第一定理比对)：

古鲁金(P. Guldin)第二定理：一个平面区域绕同平面内一条不穿过它的轴旋转一周所得立体的体积，等于这个区域的面积乘以区域质心绕这条轴旋转一周所得圆周长度 。

这两个定理一般可以在两个方面进行应用：一是知道曲线长度（或区域面积）和曲线（或区域）质心的位置，求旋转所得曲面的面积（或立体的体积）。这时的面积和质心是很容易求得或已知的。二是知道旋转所得曲面的面积（或立体的体积）和曲线长度（或区域面积），求曲线（或区域）质心的位置。这时质心不容看出，而其他两个量容易得到。上一讲应用古鲁金第一定理对这两个方面都有所涉及。本讲也将讲一讲古鲁金第二定理在这两方面的应用。

1）首先，我们来求 环面(也叫 环形圆纹曲面)围住空间的体积。 如上图所示，我们仍像上一讲那样，认为这个环面是 xOy平面上的一个圆绕 x轴旋转一周所得到的立体。这时，我们知道旋转区域是圆面，面积已知；圆面的质心在圆心。设圆面的半径为r；圆心到x轴的距离，也就是圆心到环面中心的距离为 η 。于是，环面围出空间的体积便可求出，过程如下：

2）第二，我们来求半圆区域的质心。我们可以认为球是半圆绕直径旋转一周所得的立体。那么，根据古鲁金第二定理，知道了半圆区域的面积和球的体积，我们就可以求出半圆区域的质心（注意，是半圆区域，而不是半圆弧，也不是半圆弧加直径）。半圆区域的面积为(π r²)/2，球体积为(4πr³)/3。 所以，由古鲁金第二定理，可以求得质心到x轴的距离 η ：

3）第三，我们再举一个稍微难一些的求区域质心的例子。我们来求旋轮线一支与x轴所围区域（像一张弓，后面称为“弓形区域”）的质心（注意是区域的质心，类似一块板的质心，而不是边界的质心)。旋轮线一支与x轴所围区域的面积（后面用P表示）为三倍的旋轮的面积（可以通过积分求得，之前文章中有介绍）。我们下面先通过定积分求出旋轮线绕x轴旋转一周所围成立体的体积V，然后就可以根据古鲁金第二定理求出这个“弓形区域”的质心了。( 可以猜到，质心到x轴的距离小于旋轮半径a。)

旋转线的参数方程为：

用定积分求旋轮线绕x轴旋转一周所得立体的体积：

最后根据古鲁金第二定理，有

即旋轮线与x轴所围区域的质心位于这块区域对称轴上距离x轴5a/6的地方，比这时的旋轮的圆心低一些。质心的横坐标因对称性，为 πa，所以，质心的坐标为（πa, 5a/6)。参见下图中红色文字和标线。

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