【例一】已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．
证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，
连接CG．在△DEF和△CEG中，
∵ED＝EC，∠DEF＝∠CEG，FE＝EG
∴△DEF≌△CEG．
∴DF=GC，∠DFE=∠G．
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠BAE．
∵DF=AC，
∴GC=AC．
∴∠G=∠CAE．
∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC．
【例二】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G
则△DGF∽△ECF，
∴DG：CE=DF：EF，而DF=EF，
∴DG=CE；∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB；
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠DBG=∠DGB，
∴DG=BD，
∴BD=CE．
【例三】已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线
∴BE=ED，在△ABE与△FDE中
BE=DE，∠AEB=∠DEF，AE=EF
∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴AB=DF，∠BAE=∠EFD
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠DAC＋∠ACD=∠ADB=∠BAD
∴∠BAE＋∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD
∴∠EFD＋∠EAD=∠DAC＋∠ACD
∴∠ADF=∠ADC，
∵AB=DC∴DF=DC，在△ADF与△ADC中
AD=AD∠ADF=∠ADCFD=DC
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C=∠AFD=∠BAE．
【例四】已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F.
求证：AF=EF
证明：延长AD至K，使DK=AD，连接BK，
∵D为BC中线，
∴BD=DC，
在△ADC和△KDB中，AD=DK∠1=∠2BD=DC，
∴△ADC≌△KDB，
∴∠3=∠K，AC=BK，
又∵BE=AC，
∴BE=BK，∴∠K=∠5，
又∵∠5=∠4，∴∠3=∠4，
∴AF=EF
end
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