高中数学知识结构图（十三）

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　　《向量》知识结构

　　意义

　　既有大小又有方向的量

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　　长度（模）：向量的大小，=

　　坐标：满足 =x+y的实数对（x，y）

　　]

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　　零向量：长度为0的向量，=0

　　单位向量：长度为1的向量，=1

　　表示

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　　字母表示：、、…或、…

　　几何表示：向量常用有向线段来表示：有向线段的方向——向量的方向，有向线段的长度——向量的大小（模）

　　代数表示：向量可用坐标来表示：=（x，y），=（x2-x1，y2-y1）

　　向量

　　运算

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　　加法：平行四边形法则或三角形法则，+=，+=+=，+=（xa+xb，ya+yb）

　　运算律：+=+，（+）+=+（+）

　　减法：三角形法则，-=+（-），-=（xa-xb，ya-yb）

　　数乘向量：λ（长度：λ=λ；方向：λ>0时与同向，λ<0时与反向，λ=0时λ=0），λ=（λxa，λya）

　　运算律：λ（μ）=（λ，μ），（λ+μ）=λ+μ， λ（+）=λ+λ

　　数量积：·=cosθ，·=·=0，·=xaxb+yayb

　　运算律及性质：·=·，（λ）·=λ（·）=·（λ），（+）·=·+·，

　　2=2，·≤·，（+）2=2+2·+2，（+）·（-）=2-2

　　[

　　]

　　-≤±≤+

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　　相等：长度相等，方向相同，=，规定=

　　θ=0°

　　相反：长度相等，方向相反，-与，规定-=

　　θ=180°

　　性质：-（-）=，+（-）=-+=

　　其他平行（共线）情形

　　]

　　平面向量基本定理：给定一组不共线的基底1，2，则对任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ11+λ22

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　　平行（共线）：方向相同或相反，∥，规定∥

　　θ= 0°或180°∥←→有且只有一个实数λ使=λ，或xayb-xbya=0

　　≠

　　两向量关系：两非零向量的夹角：

　　cosθ=

　　0°≤θ≤180°

　　不平行（不共线）

　　0°<θ<180°

　　[

　　垂直：⊥，⊥←→·=xaxb+yayb=0

　　θ=90°

　　不垂直

　　0°<θ<180°，且θ≠90°

　　在方向上的投影cosθ

　　[

　　指导正弦定理、余弦定理

　　定比分点：=λ，λ>0时P为内分点，λ<0时，P为外分点，λ=1时，

　　P为中点，P点坐标：x=，y=

　　平移：点P（x，y）按向量=（h，k）平移至P（x，y）则x-x=h，

　　y-y=k.

　　确定直线的方向，证明几何问题（平行、垂直、夹角等）

　　向量是既有大小又有方向的量，它既不是数也不是形，但可以用数来表示（坐标），也可以用形来表示（有向线段），它的物理意义是矢量（力、位移、速度等）。

向量可以进行运算（不同于数的运算），运算方式可以是几何作图，也可以是坐标运算。运算结果可以是向量（加法、减法、数乘向量），也可以是数（数量积），运算律也不全同于数的运算律。平面向量基本定理实质上是对向量的分解。向量之间的关系类似于几何中线路间的关系。在研究向量的问题中，要特别注意零向量对问题解的影响。

　　由于向量既可以用数来表示，又可以用形来表示，向量的模本身就是非负实数，因此向量的应用比较广泛，可以解决许多几何问题，体现了数形结合的数学思想。

　　图表使用说明：

　　应用