邵勇讲数学······
1. 第一证法：首先，一个完全平方数，若被4除，余数一定是0或1。
(10k+0)²=100k² ≡ 0（mod 4）
(10k+1)²=100k²+20k+1 ≡ 1（mod 4）
(10k+2)²=100k²+40k+4 ≡ 0（mod 4）
(10k+3)²=100k²+60k+9 ≡ 1（mod 4）
(10k+4)²=100k²+80k+16 ≡ 0（mod 4）
(10k+5)²=100k²+100k+25 ≡ 1（mod 4）
(10k+6)²=100k²+120k+36 ≡ 0（mod 4）
(10k+7)²=100k²+140k+49 ≡ 1（mod 4）
(10k+8)²=100k²+160k+64 ≡ 0（mod 4）
(10k+9)²=100k²+180k+81 ≡ 1（mod 4）
其次，111···11中，只有一位数“1”符合完全平方数的这条性质，而其他多于一位的 111···11，均可以写成11加上 100的整数倍。所以，而 11 ≡ 3（mod 4）。所以，全1整数111···11中，除一位的1外，没有一个是完全平方数。证毕。
2. 第二证法：①先证明下面的结论：奇数的平方的十位数字一定是偶数（0，2，4，6或8），个位数字一定是1，5或9。这是因为：
(10k+1)²=100k ²+20k+1
(10k+3)²=100k ²+60k+9
(10k+5)²=100k ²+100k+20+5
(10k+7)²=100k ²+140k+40+9
(10k+9)²=100k ²+180k+80+1
②不考虑第一个全1整数1。全1整数的个位数字是1，是奇数，那么，如果它是一个完全平方数，则它一定是一个奇数的平方。而由上面①的结论，这个完全平方数的十位数字是偶数。但是全1整数111···11的十位数字是奇数1。所以反证出位数在2及2以上的全1整数不可能是完全平方数。即只有“1”一个 全1整数是完全平方数（1=1 ²）。
3. 第三证法：若全1整数111···11是完全平方数，则它只能是一个以1或9结尾的整数的平方（1 ²=1，3 ²=9，5 ²=25，7 ²=49，9 ²=81）。设这样的整数为(10k+1)或(10k+9)，于是有
(10k+1)²=100k²+20k+1
(10k+9)²=100k²+180k+81
它们的十位数字都是偶数，与111···11十位数字是奇数1矛盾。得证。
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