用竖式乘法可以找出被7整除的最小“全1正整数”，如下图所示，其中第一行是最小的“全7正整数”7，第二行是要寻找的一个数，它乘以7后为一个“全1正整数”。这样做最终一定能成功。
（2）那么，对其他任意一个“全7正整数”777···777，是不是可以找到“全1正整数”，使得它是这个“全7正整数”的正整数倍？或者是不是可以找到可以被“全7正整数”整除的“全1正整数”？
如果我们仍使用类似上面乘法的办法去找，最终会找到，但很可能需要做很多步的乘法，竖式会很长，这不是好办法（当然可以用计算机编程去找，不里不谈）。从数学上，我们需要从理论上证明可以一定可以找到可以整除任意一个“全7正整数”的“全1正整数”。
① 首先，我们可以确定，“全1正整数”是无穷多的：1，11，111，1111，···，从而“全1正整数”的个数可以大于任意一个“全7正整数”这个数本身。（这个不难理解，可以随便任取一个正整数，比如3，那任意四个正整数，它们除以3后的余数，一定至少有两个相等。）
② 设某个“全7正整数”为k。根据抽屉原理，则一定存在某两个“全1正整数”，它们除以k的余数相同，也就是说存在某两个“全1正整数”，它们的差可以被k整除。
③ 设这两个“全1正整数”分别为a和b（不妨设a>b），则上一条的结果可以用数学语言简单地表示为a-b ≡ 0 ( mod k )。
⑤ “全7正整数”k一定没有因数2和5，所以，上式中等号左侧和右侧中的因数111···111就一定可以被k整除。设这个因数111···111为m。
⑥ 而m本身就是“全1正整数”，所以，我们便找到了一个“全1正整数”m，它可以被“全7正整数”k整除。证毕。返回搜狐，查看更多
