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本报记者 万润龙
今天中午，浙江大学数学中心副主任许洪伟教授就本报记者的书面提问发回邮件，介绍了美国国家科学院院士、国际著名数学家、被誉为Ricci流理论之父的汉密尔顿(RichardHamilton)教授上周末就庞加莱猜想及中国学者在庞加莱猜想中的贡献的讲话内容。
这是继丘成桐先生之后，国际数学权威首次对庞加莱猜想的完全证明发表评说。
日前，数学菲尔兹奖获得者、中科院外籍院士、哈佛大学教授丘成桐通过媒体向世界公布：数学世纪难题庞加莱猜想已被中国学者最后证明，并已经公开发表于今年6月号的《亚洲数学期刊》(见本报6月8日第五版)。丘成桐先生表示，在整个庞加莱猜想证明过程中，朱熹平和曹怀东解决了最后的问题，他们为这个问题封了顶。丘成桐同时表示，“汉密尔顿是整个庞加莱猜想证明过程中的主帅，他是我所能看到的少数具有原创性的数学家之一。”
上周末，汉密尔顿教授在清华大学与为庞加莱猜想封顶的中国学者之一曹怀东教授作了一次有意义的对话。作为丘成桐先生的助手(浙江大学数学中心由丘成桐先生创办并亲自任主任)和朱熹平、曹怀东教授的同事(朱、曹是浙江大学数学中心聘请的高级教授)，许洪伟教授对这次对话作了文字整理。
(本报杭州6月12日专电)
丘成桐最早提示“瓶颈”现象
汉密尔顿教授对著名的庞加莱猜想的解释是：每个单连通紧致三维流形都同胚于球面。
汉密尔顿表示，用分析方法研究庞加莱猜想已经有很长的历史。最早起源于雅玛得(Yamabe)，他试图在流形上附加一些好的度量。接下来的发展则是Ricci流理论的出现。“Ricci流”是指黎曼流形上的一类热方程。在流形上给定一个度量，用Ricci流发展方程加以改进，流形的曲率也随之伸展。
汉密尔顿介绍说，是丘成桐教授最早提示他说，三维流形上的Ricci流将会产生瓶颈(neckpinch)现象，并把流形分解为一些连通的片，所以可以用来证明庞加莱猜想。
汉密尔顿说，20多年来，全世界许多学者都在研究这个问题，特别是最近俄罗斯数学家佩雷尔曼(GrishaPerelman)的重大突破(自2002年11月起，俄罗斯数学家佩雷尔曼在一个张贴未正式发表论文的网站arxiv.org上先后公布三篇文章)。汉密尔顿介绍说，对Ricci流奇点的详细分析告诉我们，瓶颈和退化瓶颈都可以用拓扑手术的方法消除。但是还有一种可能性无法排除，当某种瓶颈用拓扑手术消除以后，会产生曲率塌陷。而佩雷尔曼的关键工作就是证明了非塌陷(noncollapsing)定理，从而排除了这种奇点的可能性，这就使得Ricci流证明庞加莱猜想的整个纲领具有了可行性。
中国数学家作出重要贡献
汉密尔顿认为，中国数学家在证明庞加莱猜想的过程中作出了非常重要的贡献。陈省身、丘成桐建立了非常了不起的微分几何中国学派。从1970年开始，丘成桐证明了几个重大的猜想。包括卡拉比猜想，弦论中卡拉比－丘度量的存在性，广义相对论中的正质量猜想(与Schoen合作)，凯勒几何中的Frankel猜想(与萧荫堂合作)以及代数几何中的Severi猜想。这为他赢得了众多国际数学界的大奖和崇高的学术声望，包括菲尔兹奖，Crafoord奖，美国国家科学奖和McCarty奖等。
汉密尔顿表示，丘成桐教授培养了多位出色的学生，在Ricci流理论中作出了重要的贡献。曹怀东证明了凯勒流形上长时间解的存在性，并证明了第一陈类为零或负时解的收敛性。他还证明了正双截曲率流形的Harnack估计，并成为当今Ricci－凯勒流理论的国际权威。施皖雄证明了Ricci流的局部导数估计，在Ricci流理论中具有基本的重要性，包括佩雷尔曼工作中所有与爆破(blowup)有关的论证。周培能证明了曲面上Ricci流的收敛性。对几何流理论产生重大的影响的一项工作，当数丘成桐与李伟光在1982年证明了热方程的Harnack估计，这导致了几何流Harnack估计的发展，包括Ricci流的Harnack估计，这对Ricci流古典解的分类是绝对重要的。这也导致佩雷尔曼的Harnack不等式。佩雷尔曼用丘成桐－李伟光的方法得到约化体积的Riesz函数。这些都对佩雷尔曼证明非塌陷定理起了关键的作用。
汉密尔顿认为，丘成桐等许多学者在极小曲面理论上的工作也在Ricci流理论中扮演了重要的角色，比如证明具有有限基本群的流形上Ricci流的有限消亡时间。
希望毫无争议地公布证明
汉密尔顿强调，曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。他说，“我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解，包括完备流形上解的唯一性，用新的方法研究典则领域定理证明中的反向爆破，这是基于朱熹平与陈兵龙关于孤立子扩张的工作。”汉密尔顿表示，曹怀东与朱熹平在文章中充分肯定了佩雷尔曼的工作对于证明庞加莱猜想所起的重要作用，同样，佩雷尔曼在文章中也明确指出他的工作是建构于前人的众多贡献基础上的。所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域所取得的成就，和对庞加莱猜想的贡献而感到骄傲。
汉密尔顿说，他在北京与曹怀东讨论了庞加莱猜想证明中的一些细节，他还将到苏黎世与Huisken和Ilmanen继续这些讨论。汉密尔顿表示：“我们希望在毫无争议的前提下将庞加莱猜想的证明正式公布于世，因为许多科学家需要把这些结果用到他们的工作中去。”
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庞加莱猜想困惑数学界百年
庞加莱猜想是一个困惑数学界百年之久的难题。1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出一个拓扑学上的猜想：在一个封闭三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球。
100多年来，庞加莱猜想吸引了许多杰出的数学家。先后有三位美国数学家仅仅因为部分解决庞加莱猜想即获得菲尔兹奖。2000年，位于美国麻省的克莱数学研究所列出7项“千禧年数学难题”，并为每个难题的破解设立百万美元巨奖，庞加莱猜想即是7大难题之一。
1982年，丘成桐的朋友、康奈尔大学汉密尔顿(RichardHamilton)创立了一种新方程——瑞奇(Ricci)流，成为后来的数学家们揭开庞加莱猜想的有效工具。丘成桐看到了汉密尔顿工作的重要性，建议汉密尔顿采用他和同事发展的一种几何分析方法，同时让自己的几位博士生着手相关研究，曹怀东正是其中一位博士生。1995年，丘成桐邀请汉密尔顿到中国讲学，并提出“中国数学界只要向汉密尔顿学习，就一定会有成就”的口号。
佩雷尔曼应邀在纽约大学发表演讲。但他随后继续隐居，几乎不与外界交流。美国加州大学洛杉矶分校教授、浙江大学数学中心执行主任刘克峰评价说：“佩雷尔曼的工作简直是神来之笔，好比打开了金矿的大门。不过，佩雷尔曼的文章还存在漏洞，距离彻底的证明还差最后一步。最后封顶的是中国学者。”
6月3日，丘成桐(右二)向媒体记者介绍庞加莱猜想的原理。 新华社发(卢家兴 摄) | |
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