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数独背后的四个数学问题 www.thebeijingnews.com · 2006-7-31 9:14:01 · 来源：新京报
数独（Sudoku），一种起源于日本、流行于欧美的数字游戏，虽然进入中国内地的时间不久，但已经占据了很多媒体的游戏版面，吸引越来越多的玩家投身数字的迷宫。不过数独爱好者们可能不知道，这个小游戏的雏形，却是一个让数学家伤透脑筋的问题。即使在今天，还有众多研究人员为弄清楚数独背后的规律而绞尽脑汁。 即使是天使也会为数学问题苦思冥想。德国名画家丢勒的这幅木刻画《忧郁症》（Melencolia）描述的就是一个因为数学患上忧郁症的天使。 让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫，横向、纵向、对角线数字的和都是34，在最下面一行的中间两格，画家自娱地留下了创作年代1514.
1 欧拉与拉丁方
作为数学史上最传奇、最多产的大师之一，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707—1783）在18世纪研究了一种有趣的数字方阵：考虑一个阶数（亦即行数和列数）为n的方阵，在小格里填入n种符号或数字，在每一行/列中，每一个符号出现且仅出现一次。这种方阵源自中世纪的格盘游戏，其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学中最古老的问题之一。因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母，欧拉将这样的方阵命名为拉丁方（LatinSquare）。拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。
很容易发现，数独其实正是一种特殊的拉丁方。惟一不同的是，数独加上了两个额外的条件：一、在每个小九宫格的区域内，每个数字同样出现且只出现一次；二、给出的初始数字必须对称。
2 终盘的可能性
通常将一个完成了的数独题目称为终盘。在数独游戏风行后，人们很快便希望知道这个游戏究竟存在多少个终盘形式。对此，德国数学家BertramFelgenhauer在2005年给出了答案：数独的最大可能终盘数为6，670，903，752，021，072，936，960种。
Felgenhauer的算式为9！×722×27×27，704，267，971，最后的数字是一个大质数。虽然这个天文数字已经足够惊人，但考虑到作为一种特殊限制的拉丁方，数独终盘的可能性只是可能存在的九阶拉丁方数目的0.00012%！
另一个方面，考虑到数独游戏的初始数字对称要求，以上结果可能有相当程度的重复，亦即其终盘结果会出现大量的雷同。据此，英国数学家FrazerJarvis和EdRussell给出了更准确的不同终盘数：5，472，730，538.这样一来，有志于破解所有数独题目的玩家又看到了希望的曙光，担心游戏被穷尽而没有游戏可玩的爱好者也不必焦虑：毕竟这个数目和地球人口一样多。
3 最小初盘问题
与终盘相对应，一个数独游戏给出的初始条件称为初盘。由于规则所限，给出的初盘数字个数必须在32以下。
一般常见的初盘数字个数在22—28之间，而数独爱好者们常问的一个问题是：最少给出多少个数字，数独游戏才确保有惟一解？具体地说：最少需要在初盘中给出多少个数字，使得移除其中任何一个数字该数独游戏便没有惟一解。
事实上，这个问题是数独中最有数学趣味的问题之一，并且至今仍未得到解决。但数学家们估计，这个数字很可能是17.17个数字的最小惟一解初盘是由一名日本数独爱好者发现的。澳大利亚数学家GordonRoyle已经收集了36628个17个数字的惟一解初盘，而爱尔兰数学家GaryMcGuire则致力于寻找16个数字的惟一解初盘，但至今仍无发现。部分数学家开始退而求其次，转而寻找只有两个解的16个数字初盘。
统计学家根据一个统计学原理曾随机地构造了大量17个数字的初盘，发现其中有惟一解的初盘只有数个未被GordonRoyle教授发现，这意味着，最小惟一解初盘问题的最终答案可能正是17：因为从理论上说，如果16个数字的惟一解终盘存在，那么每一个必将引起65个17个数字惟一解终盘的增加，而在研究中至今没有观察到这一效应。
4 最大初盘问题
与最小初盘问题相反，人们还可以提出最大初盘问题。
也就是说：在一个数独初盘中，最多能给出多少个数字，使得再增加一个数字该问题便只有惟一解。
相对于最小初盘问题，最大初盘问题容易解决得多。采用倒推法，在初始数字为80的情况下无需说明，缺啥补啥即可；在初始数字为79的初盘中也大约如此，因为考虑到必须满足每一个小九宫格内每个数字出现且仅出现一次，这意味着所缺少的数字都必须出现在同一个九宫格内，考虑到这个情况，还可以依次推出78的初盘也有惟一解。但当初盘中给定数字变为77的时候，该数独游戏便会出现至少两解。
数字游戏
“数独”可以被定义为一种逻辑智力拼图游戏，也可以被称为“数字游戏”。顾名思义，“数独”可以理解为一组独立的数字，将这组数字以一定的规则组合在一定区域内，便是数独游戏的主要内容。
具体地说，拼图是大九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，由9个小九宫格组成。游戏的目标是在每一个小九宫格中，不重复地填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。一般而言，一条数独题会给出1/3左右的数字作为初始条件，剩下的2/3空白处由读者完成。
也许正是因为规则简单，所以数独才能迅速风靡世界。既然玩数独游戏无需数学运算或证明，似乎完全可以将其称为“数字游戏”。
传播史
Nikoli是所有数独爱好者需要感谢的第一个名字。
数独游戏在1979年前后已经在美国Dell杂志上刊登，但在众多填字游戏中并未引起特别注意。直到1984年，日本的填字游戏出版商Nikoli公司的煅治真起从美国发现了这个游戏，决定引入日本并将其命名为Sudoku，意思是“每个数字只能出现一次”。
随着Sudoku游戏在日本国内大受欢迎，Nikoli公司在1986年对其进行了两项改良：其一是题目中给出的初始数字限定在32个以内，其二是给出数字的分布采用对称形式。这就是今天我们看到的数独游戏的面貌。
很难解释为何在此后的十多年里，数独游戏一直只在日本国内流行。但可以肯定的是，将数独游戏重新发现并推广到国际市场的，是一名香港高等法院退休法官、新西兰人高乐德。他在1997年一次日本旅行中，在书店内发现数独游戏，立刻被其吸引住。此后高乐德花了六年时间开发数独出题程序，并向英国《泰晤士报》等报社出售其编写的数独题目。英国市场反应极佳，数独开始风行全球，而高乐德本人也因此获得巨额收入。
经过两年的迅速发展，数独游戏已经“侵入”了几乎一切公共传播领域：数以千计的报纸提供数独游戏，数十种数独刊物，全球各地分别成立了数独爱好者团体，电视上已经出现了数独节目，而第一届数独世界锦标赛也在今年的3月举行，捷克一名女会计师夺冠。
本版撰文/实习生张力
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